不完全性定理: 数学的体系のあゆみ (ちくま学芸文庫 ノ 4-1 Math&Science)

著者 : 野崎昭弘

• 筑摩書房 (2006年5月1日発売)

作品紹介・あらすじ

ゲーデルが25歳で出版した「不完全性定理」(1931)は、当時の数学界の巨匠ヒルベルトが提唱した「形式主義によって超数学を展開しようという計画」に対して、原理的な限界を示す衝撃的な証明だった。それは数学のみならず哲学・思想界にも、「人間の知性のある限界が示された」と大きな波紋をもたらした。ゲーデルはいったい何を明らかにし、どのような新しい道を示したのか。この記念碑的業績にいたる数学の歴史的な歩みをたどりながら、難解といわれるその結果の意味をていねいに解りやすく解説する。『ゲーデル、エッシャー、バッハ』の訳者ならではの、ユーモアをまじえたゲーデルへの超入門書。

感想・レビュー・書評

[あさんの感想 · 2024年1月13日]

記録

[豊橋技術科学大学図書館さんの感想 · 2019年10月2日]

系推薦図書　総合教育院
【配架場所】　図・３F文庫新書　ちくま学芸文庫
【OPACへのリンク】
https://opac.lib.tut.ac.jp/mylimedio/search/book.do?target=local&bibid=129071

[Daijyu Henri Takeishiさんの感想 · 2018年12月10日]

後半少し速歩すぎるかな。

[sergさんの感想 · 2018年11月13日]

1155円購入2010-10-22

[波瀬龍さんの感想 · 2018年10月28日]

【要約】
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【ノート】
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[ichiro.marinersさんの感想 · 2018年10月23日]

無矛盾とは、命題Mと、命題！M（！MはとMの逆命題）が同時に真とならないこと。完全とは、すべての命題が証明（正しいか否かは別として）できること。不完全性定理とは、「無矛盾な公理系は、不完全である」ということ。この定理は、理性の限界を示すような危険な事実である。私は大学で数学を専攻したので、当然この定理は知っていたが、この定理が発見された経緯等の歴史的事実は全く知らなかった。この本を読んで、発見経緯や、発見者であるゲーデルまでの数学者の系が分かりほんとに面白かった。ところで、この辺りの仕事ですばらしい貢献した数学者は、カントールと、ゲーデルであるといってよいと思うが、彼らは晩年精神を病んでしまった。純粋な論理追求は精神を破壊することなのであると思う。ですので、この本を読んで数学に目覚めた数学者の卵へ、「間違っても、基礎数学論には足を踏み入れないこと！」。

[masudahidehikoさんの感想 · 2016年8月22日]

『数理論理学の基礎・基本』とは対照的な本。この本では不完全性定理を題材にして、ギリシャ数学の証明から集合論、論理学の基礎をとてもていねいに易しくたどってくれる。本の大半はそうした基礎的なことの解説で、最後にそこまで理解した人だったらきちんとわかる形で簡潔に不完全性定理とはどういうものかが書かれている。
その”本の大半”でなされる基礎的な解説が出色。現在の IT の基礎となっている数学的な知識・理論を理解するにはかかせない、集合・論理学の知識がとてもわかりやすくまとめられている。副題の「数学的体系のあゆみ」の方が本の中身を正しく表しているように思うが、まぁマーケティング的な考えでキャッチ―な「不完全性定理」がメインのタイトルになっているんだろうなぁ。

[cheapeerさんの感想 · 2013年8月1日]

歴史やら人文系の本への偏重を抑制すべく、数学の本か数学でなくとも理系色の強い本を読みたいと思い立って購入。予備知識なし。

副題に“数学的体系のあゆみ”とあるように、数学を包括的に網羅的に取り扱う本だった（本当に網羅されているか否かを判定するには私の数学の知見は不足している）。タイトルの不確定性定理は後半の後半でようやくその姿を現す。今までの数学を超えたもの、即ち超数学という立ち位置なのだね。数学にとっての自意識。科学に対しての科学哲学のような位置づけなのだろうか。「数学ってほんとうに正しいの」、「数字を使って考量できることばかりじゃないよね」……そういった私たちの小さな声を代弁してくれるような感覚もあったな。
昨今の科学原理主義とそれに付随する社会的概況。そこに警鐘を鳴らす。原発の安全神話。敷衍すると文明批判的含意すら醸し出される。確かに科学文明は私たちに無限の利便と暮らしの安寧をもたらしてくれた。ただ、それを過信して、数学や科学を妄信すると大いなる崩壊・取り返しのつかない破綻が人間社会に起こりうることを示唆する（このあたりは私が勝手に抱いたことね）。
閑話休題。細部は分からなかったけれど、数学も数学でセルフチェック機能のようなものを持っているということだけは理解できた。
また、数式というのは詞（詩）に少し似ている。私たちが見聞きする数多の事象を抽出的に表現しているという点で。

http://cheapeer.wordpress.com/2013/08/01/130801/

[morithinさんの感想 · 2013年5月19日]

実は読むのは２回目です。竹内薫さんの本を読んで、また少し理解が進んだと思って、我が家の不完全性定理関係の本を眺め直したところ、次に読むべきはこれかと思い手に取りました。

しかし、やっぱりよくわからない。けども、また少し分かった部分もあったので、死ぬまでに理解できればいいなあくらいの気楽さで、また気が向いた時に類書を読んでみたいと思います。

さて、不完全性定理とは、数学に関する定理で、著者によれば「自然数論を含む述語論理の体系Zは、もし無矛盾ならば、形式的に不完全である」です。

数学は最も論理的な学問ですから、これが「不完全」とは何事か、というのが僕の不完全性定理への興味の源です。そして、解説本を読んでみたところ、これがさっぱりわからない。これが僕の不完全性定理への執着の源です。わからないというのは、少々気に入らないというわけで意地になっているというわけです。

読み物としても楽しいし（不完全性定理に至るまでの話は結構ドラマティックなのです）、内容的にも一般向けには調度良い深さくらいまで掘っているのが本書だと思います。竹内薫さんの近著の次くらいに読むべきものかと思います。僕のライブラリでは、この次が数学ガールかなあ。

さて、不完全性定理の解説本では、それが難しいとされているため、著者なりの難しいポイントの解説に力が注がれることが多いと思います。

本書では、ゲーデル文が”￢Probable(sub(x,17,g(x))”なのはいいとして（17は変数のゲーデル数、g(x)は自然数xを表す記号列のゲーデル数）、では単に”￢Provable(x)”のゲーデル数をxに代入しただけではなぜだめなのか、というところが詳しく書かれています。理由は、代入によって論理式が変わってしまうから、ということですが、むー自分が理解できていないことを書くのは何とも気持ちの悪いことです。

ま、死ぬまでに理解できたらいいな位のトーンで今後も勉強です。

[ara-ta3さんの感想 · 2013年5月3日]

自分には難しかった・・・

著者プロフィール

野崎昭弘

一九三六年（昭和一一年）、神奈川県生まれ。五九年、東京大学理学部数学科卒業。六一年、東京大学大学院修士課程修了。東京大学助手、山梨大学教授（計算機械学科）、国際基督教大学教授（理学科）、大妻女子大学教授（社会情報学部）、サイバー大学ＩＴ総合学部教授を歴任。現在，大妻女子大学名誉教授。専攻、情報数学。著書に『電子計算機と数学』（ダイヤモンド社）、『πの話』（岩波書店）、『とらんぷ』（ダイヤモンド社）、『計算数学セミナー』（日本評論社）、『詭弁論理学』『逆接論理学』（中公新書）、『計算機数学』（共立出版）、『数学的センス』（日本評論社）、『トランプひとり遊び』（朝日新聞社）、『はじまりの数学』（ちくまプリマー新書）ほか。

「2021年 『まるさんかく論理学』 で使われていた紹介文から引用しています。」