朝日おとなの学びなおし! 数学 感動する! 微分・積分 (朝日おとなの学びなおし!数学)

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著者 : 桜井進
  • 朝日新聞出版 (2012年8月21日発売)
  • Amazon.co.jp ・本 (240ページ)
  • / ISBN・EAN: 9784023310926

作品紹介

微分・積分が奏でる"計算の超絶技法"を堪能し、アルキメデス、ニュートン、オイラー…ら数学史のマエストロ(巨匠)が挑んだ問題を追体験しよう。タテ書きで、すらすら読める「微分・積分の世界」。

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  • 方丈記 行く川のながれは絶えずして,しかも本の水にあらず。
    平家物語 祇園精舎の鐘の声,諸行無常の響きあり。
    ニュートン 流率法
    もし,昼休みの時間,アルキメデスがその高校生の目の前に現れてノートをのぞきこんだならば,驚嘆の声をあげることでしょう。→曲線で囲まれた部分の面積が簡潔に計算
    微分Differential
    縦書きにすれば,とにかく最後まで,立て板に水のごとく読んでもらえる可能性が高くなる。
    導関数Derivative
    ブラック・ショールズ方程式 伊藤の理論
    数学の教科書に載っている公式を祖先が見たならば,あまりの驚きに椅子から転げ落ちるほど驚嘆するでしょう。
    正規分布 ガウス分布 10マルク紙幣 確率密度関数
    ネイピア数e Euler
    微分積分学calculus
    円運動p(t)の速度ベクトル→向きは接線方面

    分子と分母がゼロになる不定形 0/0
    二項定理 f(x)=x^nの導関数
    積の微分法 商の微分法 合成関数の微分法
    √2 ニュートン法
    sin cosの加法定理
    sinx := x (x→0)
    sinxが実数xに対して定義される孤度法 π=180°
    インテグラル→簡単すぎて感動する暇すらない。

    円の面積 円周の半分×半径=(半径×π)×半径
    べき和公式 区分求積法 下方和<S<上方和 → 極限をとる。

    数学という思考実験が現実の物理実験を凌駕する威力を持つ。

    アルキメデスの求積法 放物線の切片の面積は内接する三角形の面積の4/3倍
    取り尽し法 積尽法
    カヴァリエリの不可分法 直線の幅や平面の厚さを限りなくゼロに近い値

    微分してf(x)となるもとの関数をf(x)の原始関数primitive function

    定積分 dx限りなくゼロに近い幅→長方形の幅=f(x)×dx

    位置,速度,加速度 時刻tのときの位置x(t)
    速度→1回微分 加速度→2回微分

    自由落下運動 加速度は一定 a(t)=g 速度v(t)=gt+v(0) 位置は速度の積分x(t)=1/2gt^2

    第1次近似 f(b)-f(a)=f’(a)(b-a) f(b)=f(a)+(b-a)f’(a)

    関数f(x)をx=aを中心にテーラー展開する。a=0としたとき,マクローリン展開

    面積と微分の関係 f’(x1)+f’(x2)+f’(x3)=f(x4)-f(x1)
    面積S=f(x1)+f(x2)+f(x3)
    S = f(x1)+f(x2)+f(x3) = ∫_x1→x4 f(x)dx

    ネイピア数 e=(1+1/N)^N N→∞
          =1+1/1!+1/2!+1/3!+…
    二項定理 (1+x/N)^N 1+x+x^2/2!+x^3/3!+…

    対数の計算公式 対数関数f(x)=logx=logexの微分 f’(x)=1/x
    オイラーの公式
    バーゼルの問題→収束の遅さ→ 1.64493 π^2/6

    この先にフーリエやルベーグが登場

  • ◆結論 ~ 星の数 ~
    ★★★:「費用と時間」をかけても読んで欲しい、「内容」が非常に良い(30%)

    ◆感想文 ~ 読む前、読んだ後 ~

    ◇読む前の感想

     著者の桜井進さんにはまってしまいました。(^^)
     数学エッセイ本って、広くて浅くてまとまりが無いものばかりですが、これは微積分に特化した本であるため、期待大です。(^^)

    ◇読んだ後の感想

     ほほう、なるほど。
     微分積分の関係を自動車に例えるとき、移動距離→速度→加速度の関係と説明するのは、良く見ます。
     本書では、微分すると何故接線の傾きになるのか。積分すると何故面積になるのか。そして接線と面積にどんな関係があるのか。ここにこだわった説明がありました。
     正直、「そんな考え方があったか!」と、目から鱗でした。
     予想通り、読んでみて良かったです。(^^)

     本書の中で、個人的に面白いと感じたところを以下、箇条書きにします。
     (ページ数のある段落が引用です。無いのは私の感想です。)

    ・数と数字はまったく違うものです。数とは、概念であり、イデア的存在であり、つまり形なき存在です。(P40)

    ・ニュートン法による√2=1.414・・・の計算(P110)
     √2を手計算できる方法があるとは、素晴らしい。(^^)しかし、かなり面倒臭そう。(^^;)

    ・小学校の算数では単位を伴う長さ・面積・体積を扱いますが、中学校からは長さに単位を付けず、数だけになってしまいます。算数と数学の違いの一つです。(P122)
     なるほど。算数と数学の違いの分かり易い例です。(^^)

    ・二重帰謬法(きびゅうほう)(P136)
     アルキメデスによる、放物線の切片の面積が、内接する三角形の面積の4/3倍になることの証明方法です。素晴らしいです。

    ・CORDIC(P188)
     電卓内部で行なわれている、sin31°の計算方法だそうです。マクローリン展開ではないそうです。へぇ。

    ・微分と積分と面積のつながり(P196)
     このグラフが分かり易いです!微積分を勉強した学生時代に、このカラクリを知っていればなぁ・・・。

    ・オイラーが行なった大胆な計算は、指数関数のxにixを代入するというものでした。(P210)
     有名なオイラーの等式の誕生秘話(?)です。オイラー自身、この等式の発見に驚喜したそうです。

    ・バーゼルの問題(P211)
     はて?何に収束するのだろう???

    ・「人は足すことをやめない」(P212)
     オイラーの名言です。的を射ています。

    ・オイラーのI2予想の証明(P224)
     バーゼルの問題の解に、まさか円周率が登場するとは!マジ、ビビりました・・・。数学、神秘過ぎます・・・。

    (参考:評価基準)
    ★★★★★:座右の書である、または、座右の書とすべきである(10%)
    ★★★★:自分の知り合い、友人、家族全員が読んで欲しい(20%)
    ★★★:「費用と時間」をかけても読んで欲しい、「内容」が非常に良い(30%)
    ★★:暇な時間で読めば良い(20%)
    ★:読んでも良いが強く薦めない、他にもっと良い本がある(20%)

  • たしかに感動した!微分積分を、レベルを下げることなく興味深く教えており、これは高校数学の副読本としても十分使える優れた本だろう。アルキメデスがどうやって面積を求めたか、またバーゼルの問題を細かに解いてくれているあたりが何ともしびれる。

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