はじめての現代数学 (ハヤカワ文庫NF 数理を愉しむ)

瀬山士郎

• 早川書房 (2009年3月25日発売)

感想・レビュー・書評

[8minaさんの感想 · 2011年9月4日]

一応理系で学び位相空間とか高木先生の解析概論なんかで数学をかじったはずなのですが・・・実社会に出てからはすっかり遠ざかっていました。大変面白い内容で数学ってこんな面もあるのだと感じることができます。数学ガールなどこのところ多く数学読み物が出ておりますが、通勤電車で挑戦しながら読める数学本です。パズルを解く感じで。

[塩川宏郷さんの感想 · 2024年7月4日]

現代数学は、モノからコトへのパラダイムシフト。と言っても理解できたのは半分、いやそれ以下かもな。
と記載していたのは2011年だった。13年後にもう一度読み返してみたが、原本は1988年というから最新の内容ではないかもしれないが最後まで読み切れた。論理式のあたりとカタストロフ理論のあたりが面白く感じた。なぜかわからないが数学本を読みたくなっている今日この頃。けっこうたくさんの数学本を買い集めては途中で投げ出しているのだった。少しずつ読み直したい。

[うどんが好きさんの感想 · 2021年1月6日]

現代数学を比喩的に語る、という困難な挑戦をした本。個人的には「2 無限の算術」まではなんとかついていけたような気がしたが、トポロジー以降は全く歯が立たなかった。

[sazanamiさんの感想 · 2018年12月30日]

数学
サイエンス

[yoshio2018さんの感想 · 2018年10月11日]

「モノ」から「コト」へ、現代数学は「コト」を扱っている。

[狐舞さんの感想 · 2018年3月10日]

　数学、特に現代数学がなぜ分かりにくいのかが見えてくる。本文中では数学が「モノ」から「コト」を扱うように変化した、とあるがまさにこれが分かりにくさの原因。つまり何を言っているのかイメージできないことにあると思う。集合論においては無限の個数が決まってしまったり、幾何学も数学的には成り立つが実体として作ることのできない図形が示されたりと、とにかくイメージすることが難しい。逆にグラフ理論やフラクタルは「モノ」が見えてくるため、理論としては難しくてもなんとなく分かった気になってしまう。「コト」を「モノ」として上手くイメージできるようになれば理解が進むのではないかと思う。

[おかやんさんの感想 · 2015年7月7日]

あかん。理系の本に頭痛が。。

[Στέφανοςさんの感想 · 2013年7月20日]

いやぁー難しかった。内容は半分くらいしか理解できないけど、主に描かれているのはこういういこと。
19世紀から20世紀へ大きな転換を迎えた現代数学。それはモノからコトへの転換でした。たとえば方程式の解というモノから方程式が解けるコトを問題にしているのが現代数学ということです。
特に無限の取り扱いは創造をたくましくしないと理解不能でした。無限にも大小がある等です。ゲーデルの不完全性定理にいたってはお手上げ。
もともとは講談社現代新書におさめられていたものです。

「モノ」から「コト」へ◆無限の算術・集合論◆柔らかい空間・トポロジー◆形式の限界・論理学とゲーデル◆現代数学の冒険

著者：瀬山士郎、1946群馬県出身、数学者・教育学者、群馬大学教授

[yuu1960さんの感想 · 2013年5月25日]

本屋で平積みしてあったので購入したが、手強い本でした。
帰宅時の電車の中で読んでるんじゃ判らないよ。
無限の話が集合論に繋がっていく辺りが現代数学ということかな。
後半でゲーデルの一般不可能性定理が出てくるが、論理の記号化の先は集合論で見た対角線論法ではないか。
数学の論理一貫性の破綻として、僕でも知るぐらいに有名なゲーデルだが、突発的に出てきたわけではなく、現代数学の発展のもとに出現したわけだ。
兎も角、現代数学の概要を無理して通読したが、細かいところは判らないので、読み飛ばしてしまった。いくら読んでも判らない処も多かったし。
対角線論法ぐらいはもう一度読み直そうかな。

[nakaizawaさんの感想 · 2013年5月12日]

(2013.05.12読了)(2012.07.28購入)
20世紀に創られた数学を、｢現代数学の手ざわりを確かめたいという人のために｣書いた本ということです。
新しい数学の名前はわかったのですが、内容までは、残念ながらわかりませんでした。ひとによって感性が違うので、同じように説明されてもわかる人と分からない人がいます。
僕の場合は、分からない方に入ってしまったようです。
この本は、同じ題名で1988年に講談社現代新書で刊行され、その内容に、今回、ファジイ理論、カタストロフィー理論、フラクタル理論、「四色問題」を追加した、とのことです。

【誤植】
55頁、7行目
n→0 は n→∞ の間違いと思われます。

【目次】
まえがき
文庫版まえがき
１　｢モノ｣から｢コト｣へ
２　無限の算術・集合論
３　柔らかい空間・トポロジー
４　形式の限界・論理学とゲーデル
５　現代数学の冒険

☆関連図書(既読)
「新しい数学」矢野健太郎著、岩波新書、1966.02.21
「現代数学対話」遠山啓著、岩波新書、1967.05.20
「ファジイ理論がわかる本」向殿政男著、HBJ出版局、1988.11.28
「無限の果てに何があるか」足立恒雄著、光文社、1992.05.30
「√２の不思議」足立恒雄著、光文社、1994.03.30
「はじめまして数学（１）」吉田武著、幻冬舎文庫、2006.12.10
「はじめまして数学（２）」吉田武著、幻冬舎文庫、2006.12.10
「はじめまして数学（３）」吉田武著、幻冬舎文庫、2006.12.10
(2013年5月12日・記)
（「BOOK」データベースより）amazon
20世紀に入って発達した数学を現代数学と呼ぶなら、その特徴は「モノからコトへ」と集約できる。この観点を一貫した先導役として、本書では学校の授業や教科書からはこぼれ落ちてしまう数学の生きた手触りを感覚的に味わっていただけよう。「無限にも大小がある」とか「コーヒーカップはドーナツだ」といった奇妙な表現の飛び交う現代数学は、本当はどんな貌をしているのか。数学に興味ある人必読の名作解説、待望の復刊。

[eraさんの感想 · 2013年4月26日]

数学科出身なのに数式を見ると眠くなってしまう自分には読むのがつらかった。面白そうな話をしてるように思えるのだが。

[Takoさんの感想 · 2013年3月13日]

体力が必要でした。
数学レベル低い私にはきつい。モノとコトと分けて解説されているのですが。想像の枠外になってしまうのでイメージできないんですよね。
こんな状態だが、数学って面白いなと感じた作品です。

[alucky2001さんの感想 · 2013年2月2日]

2013/02/02-21:31 読み込むには体力が必要

[k-ta-yamadaさんの感想 · 2012年5月13日]

数学って楽しいよね！

[ginrou799さんの感想 · 2012年5月7日]

何度となく挫折した現代数学。
位相数学とか、トポロジー論とか、論理学とかを、ざくっと紹介していて、何となく全体像は理解できたような気がする。
でも、しっかりとした知識として身につけるには、やっぱり専門的な教科書を読むしかないんだろうなー

[akiyama924さんの感想 · 2012年4月30日]

数学好きの人はもちろん、そうでない人も楽しめるんじゃないかなぁと思います。

私が特に「ハッ」と思ったのは、

　その方程式を解くことがどんなに難しくても、解ける方程式であればさまざまな工夫をこらして人はそれを解いてきた。これが「モノ」に対する人間の態度である。一方その方程式が本質的に解けない方程式であれば、そこでは「方程式が解けるとはどういうことか」という「コト」が問題となってくるであろう。五次方程式がまさしくそのような「コト」を問題にしなければならない相手だったのである。

です。

すぐにソフトウェアテストに結び付けてしまってなんですが、「ちょっとした大きさのソフトウェアにおいてもテストでバグがゼロであると証明できない」なら「バグをゼロにするというのはどういうことか」と「コト」を問題にしなければならないのだなと思いました。

[nfujishimaさんの感想 · 2012年4月7日]

本屋で見かけて、割と気軽に読めるのかなと思って買ったのですが、読んでみると思ったよりはるかに手強くて驚きました。
「はじめての」とはついていても、さすがに「現代数学」。中身が非常に抽象的で、かなりの部分、ついて行けませんでした。歳を取って、こういう抽象思考に対し、くらいついてでもついていって理解しようとする根気がなくなってしまったことも大きいのでしょうが。
ただ、それでもこれを読んで、わけのわからなかった現代数学というものが、それぞれ古典数学の何にルーツをもっているのかだけはとりあえず理解することができて、収穫でした。「計算」が拡張されて「群」になり、「図形」が拡張されて「多様体」になったのだということすらも、文系のため大学で数学を学ばなかった僕にとっては、これを読んで初めて知った知識でしたし。
とりあえず、買った目的は達成できたといった感じです。

[harukuさんの感想 · 2012年1月15日]

魅力があるのは二次か三次か？
ネットで良く議論になる所ですが、次元には計算方法があるのです。
憶えておくと楽しいので、今日はその方法を簡単に。

まず点は0次元、線なら一次元、面になると二次元、現実世界の立体は三次元ですね。
それなら線で埋め尽くされている平面は何次元でしょうか？
それに答えるのがフラクタル次元計算法です。

まず一次元＝一本の線がある時、それを二等分する。
元の半分になります。線だから形も1/2になっただけで一緒（相似形）です。

では面ならどうか？
正方形の面を半分に、真ん中から切ったら（縦切りでも横切りでも）、縦長、横長になり、同じ形（相似形）ではなくなります。
変形してしまう。
同じ形のミニチュアサイズ（相似形）にするなら、縦横の比率を合わせる為、四等分しないとならない。
同じ理屈で立方体で相似形を作るなら、縦、横、高さを二分の一にし、大きさ（体積）は8分の1になります。

となると相似比ｒは1次元＝2分の1、二次元は面積比＝4分の1、三次元は体積比で＝8分の1、です。
相似比を公式化するなら、2の肩に次元を自乗すれば良いのが分かります。
一次元＝2＾1、二次元＝2＾2、三次元＝2＾3ですね。

このアイデアを一般化します
コッホ曲線（線分を3等分し真ん中の部分を正三角形に折り曲げる、という操作を無限に繰り返す、フラクタル曲線）この曲線は何次元か？

最初の長さが1、なら操作を繰り返すごとに相似形は4/3倍の長さに増え続け、ｎ回後にはlim(4/3)^n,n→∞です。
この次元は　4＝3＾ｘ
ですね。
この両辺の対数を取り
log4＝xlog3 ならば
ｘlog3=log4（logは常用対数、log3は10を何乗すれば3になるか？ということ）
ｘ＝log4/log3（←常用対数表から）
x=0.602/0.477
x=1.2618
よってコッホ曲線の次元は一次元より大きいけど、平面の二次元以下で1.2618次元となります

ではカントールの不連続体の次元は？
カントールの不連続体：
線分　＿＿＿＿＿＿＿＿＿があった時、三等分して真ん中の部分を取り除くと
線分は＿＿＿　　　＿＿＿となる。この操作を繰り返すと次は
　　　　＿　＿　　　＿　＿となり、無限回の後にはだんだん細かく点状になるが、
線分＿は空白を挟んで無限に存在する。
点状なので0次元？　と思う反面、元の線分の相似形であるのだから一次元とも考えられる。
上記フラクタル次元の考え方から計算すると、相似比1/3の縮小図形で、二個に分かれるから
log2/log3=0.6309次元。
0次元以上、1次元未満！
となります。

なんと！
次元は整数だけじゃなかったんです。

[にゃんたこすさんの感想 · 2012年1月9日]

書店に平積みされていたので買って読んでみた。■タイトルのとおり現代数学をわかりやすく記述　◆大学教養程度の数学的知識は必要　◆もちろん厳密な説明ではなくイメージをつかむという感じ■断片的に持っていた知識がひとつにつながった　◆数学は抽象化のプロセスを追及している学問である、というのが　　全体を読んだ要約　　⇒集合論、解析理論など個別に多少の知識のあったトピックから　　　位相幾何学など名前くらいしか聞いたことのないトピックまで　　　そのひとつの流れの中にあるように感じた。■個人的には思考の膨らむ内容だった　◆数学は人間の思考・認識過程を定式化したい学問なのか？　　⇒他の学問にもいえるかもしれないが、「学問の垣根」が崩れてきている？　　　パラダイムシフト？

[kaizenさんの感想 · 2011年12月29日]

はじめての現代数学 (数理を愉しむ)シリーズ (ハヤカワ文庫NF―数理を愉しむシリーズ)
瀬山 士郎

著者プロフィール

1946年、群馬県生まれ。東京教育大学大学院理学研究科修了。群馬大学教育学部教授を経て、群馬大学名誉教授。数学教育協議会会員。専攻は位相幾何学(トポロジー)。著書は『読む数学』『読む数学　数列の不思議』『読む数学記号』『読むトポロジー』(いずれも角川ソフィア文庫)、『はじめての現代数学』ハヤカワ文庫NF)、『幾何物語』(ちくま学芸文庫)、『数学 想像力の科学』（岩波科学ライブラリー）、『頭にしみこむ微分積分』（技術評論社）など多数。

「2023年 『読む幾何学』 で使われていた紹介文から引用しています。」